Delningsförhållande
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Teilverhaeltnis-definition.png/250px-Teilverhaeltnis-definition.png)
Olika värden (λ) på delningsförhållandet beroende på var punkten T ligger på sträckan , eller snarare på linjen genom dessa båda punkter.
Med delningsförhållande avses inom geometri ett avståndsförhållande mellan tre punkter på en rät linje vilket definieras enligt (se Figur 1):
För de tre kollinjära punkterna A, B och T gäller att T delar den riktade sträckan i delningsförhållandet - vanligen betecknat (A,B;T):
Andra beteckningar förekommer dock, som (T;A,B) eller μ(T;A,B),
En viktig egenskap hos delningsförhållanden är att de är invarianta under affina avbildningar och parallellprojektioner.
Värden[redigera | redigera wikitext]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Hyperbel-teilverhaeltnis.svg/250px-Hyperbel-teilverhaeltnis.svg.png)
Värdet på delningsförhållandet beror av var på linjen punkten T ligger i förhållande till . Ligger T mellan A och B, är en inre delningspunkt, kommer delningsförhållandet att anta positiva värden - från noll (om T=A) till oändligheten (då T närmar sig B). Ligger T utanför . är en yttre delningspunkt, kommer delningsförhållandet att anta negativa värden (då en, och endast en, av och kommer att vara riktad i en negativ riktning): om T ligger på samma sida om B som A kommer värdena att ligga mellan noll (då T ligger nära A) och -1 då avståndet (åt vänster i figur 1) närmar sig -∞, medan det i motsatt fall, då T ligger längre från A än från B, delningsförhållandets värde ändras från -∞ till -1 ju längre från B som punkten T ligger.
Eftersom kan skrivas som och som har vi att delningsförhållandet:
Härur följer att:
och där
Egenskaper[redigera | redigera wikitext]
Reciprocitet[redigera | redigera wikitext]
Om A, B och C är tre kollinjära (och ej sammanfallande) punkter, gäller:
Bevis
Cyklisk permutation[redigera | redigera wikitext]
Om A, B och C är tre kollinjära (och ej sammanfallande) punkter, gäller:
- (A,B;C)⋅(B,C;A)⋅(C,A;B) = 1
Bevis
Invarians under parallellprojektion[redigera | redigera wikitext]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Delningsf%C3%B6rh%C3%A5llande_parallellprojektion.svg/250px-Delningsf%C3%B6rh%C3%A5llande_parallellprojektion.svg.png)
Betrakta figur 3. De tre punkterna A' , B' och C' på linjen b är parallellprojektioner av punkterna A, B respektive C på linjen a. De prickade blå linjerna genom punkterna A respektive B är parallella med linjen b. Då de gröna projektionslinjerna är parallella medför detta att , och . Det vill säga att:
, och
Då de tre trianglarna , och är likformiga, får vi att:
Vi får således att, exempelvis, delningsförhållandet
och motsvarande gäller övriga möjliga delningsförhållanden.
Permutationer[redigera | redigera wikitext]
De tre punkterna kan permuteras på sex (=3!) olika sätt vilket leder till sex möjliga delningsförhållanden, vars värden beror av varandra enligt nedan:
1 är vårt valda referensförhållande. 3 och 5 erhålls enkelt genom substitutionen (samt utnyttjande av att ). 2, 4 och 6 erhålls genom "invertering" av 1, 3 respektive 5 i enlighet med avsnittet Reciprocitet ovan.
Grafisk konstruktion av ett delningsförhållande[redigera | redigera wikitext]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/41/Teilverhaeltnis-innen-aussen.svg/250px-Teilverhaeltnis-innen-aussen.svg.png)
Konstuktion av punkterma T och S som delar i delningsförhållandena respektive .
Notera att B' ligger i motsatt riktning (snett neråt vänster) från B som A' från A i det fall delningsförhållandet är positivt, och i samma riktning (snett upp åt höger) om det är negativt.
Om man har en linje med två punkter A och B och vill konstruera punkten T som delar i förhållandet m:n, det vill säga
kan man förfara enligt följande: Man drar två parallella linjer, en genom A och en genom B. På linjen genom A avsätter man en punkt A' belägen m enheter av en lämpligt vald längd från A och på linjen genom B avsätter man en punkt B' belägen n enheter av samma längd från B - på motsatta sidan i förhållande till på linjen genom A om m:n>0 och på samma sida om m:n<0 - och förbinder dessa erhållna punkter med en rät linje. Denna linje skär linjen genom A och B i en punkt T med det önskade delningsförhållandet. (Att så är fallet visas enkelt genom att de uppkomna trianglarna AA'T och BB'T är likformiga och eftersom så är därför även .)
Harmonisk delning[redigera | redigera wikitext]
Betrakta sträckan med en inre delningspunkt, T, vars delningsförhållande har samma belopp som en yttre delningspunkt, S, men med motsatt tecken, som i figur 4. Det vill säga att
Det vill säga att punkterna A och B på ett motsvarande sätt delar sträckan i förhållanden med samma belopp, men med motsatt tecken. Denna relation kallas harmonisk delning[1][2] och punkterna A och B säges vara harmoniskt konjugerade i förhållande till , liksom S och T är det i förhållande till .
Om så är [3]
Referenser[redigera | redigera wikitext]
- ^ "Harmoniska punkter" i Nordisk familjebok, uggleupplagan, volym 10 (1909), spalt 1481.
- ^ Harmonisk delning i Nationalencyklopedin.
- ^ Reimund Albers, Harmonische Teilung, AG Didaktik der Mathematik, Universität Bremen.
Litteratur[redigera | redigera wikitext]
- Lindahl, Lars-Åke (2004). En inledning till geometri. Matematiska institutionen, Uppsala universitet. sid. 105–109. http://www2.math.uu.se/~lal/kompendier/Geometribok.pdf