Cyklotomisk karaktär

Inom matematiken är en cyklotomisk karaktär en karaktär av en Galoisgrupp som ger Galoisverkan på en grupp av enhetsrötter. Som en endimensionell representation över en ring R är dess representationsrum i allmänhet betecknad med R(1) (det vill säga den är en representation χ : G → Aut_R(R(1)) ≈ GL(1, R)).

p-adiska cyklotomiska karaktärer

Om p är ett primtal och G är den absoluta Galoisgruppen av rationella talen, är den p-adiska cyklotomiska karaktären en grupphomomorfi

$\chi _{p}:G\rightarrow \mathbf {Z} _{p}^{\times }$

där Z_p^× är gruppen av enhetsrötter av ringen av p-adiska heltal. Denna homomorfi definieras på följande sätt. Låt ζ_n vara en primitiv pⁿ-te enhetsrot. Varje pⁿ-te enhetsrot är en potens av ζ_n unikt definierad som ett element av ringen av heltal modulo pⁿ. Primitiva rötter korresponderar till de invertibla elementen, alltså till (Z/pⁿ)^×. Ett element g av Galoisgruppen G sänder ζ_n till en annan primitiv pⁿ-te enhetsrot

$\theta =\zeta _{n}^{a_{g,n}}$

där a_g,n ∈ (Z/pⁿ)^×. För ett givet g, då n varierar, bildar elementen a_g,n ett kompatibelt system i och med att de ger ett element av inversa gränsvärdet av alla (Z/pⁿ)^×, som är Z_p^×. Därför sänder den p-adiska cyklotomiska karaktären g till systemet (a_g,n)_n, och på det viset ger information om verkan av g på alla enhetsrötter vars ordning är e potens av p.

Faktiskt är $\chi _{p}$ en kontinuerlig homomorfi (där topologin av G är Krulltopologin, och topologin av Z_p^× är p-adiska topologin).

Som ett kompatibel system av ℓ-adiska representationer

Genom att låta ℓ variera över alla primtal får man ett kompatibel system av ℓ-adiska representationer från de ℓ-adiska cyklotomiska karaktärerna (då man betraktar kompatibla system av representationer är standardterminologin att använda symbolen ℓ till att beteckna ett primtal i stället för p). I andra ord är χ = { χ_ℓ }_ℓ en "familj" av ℓ-adiska representationer

$\chi _{\ell }:G_{\mathbf {Q} }\rightarrow \operatorname {GL} _{1}(\mathbf {Z} _{\ell })$

som satisfierar flera kompatibilitetskrav mellan olika primtal. Faktiskt bildar χ_ℓ ett strikt kompatibel system av ℓ-adiska representationer.

Egenskaper

p-adiska cyklotomiska karaktären har flera goda egenskaper.

• Den är oramifierad vid alla primtal ℓ ≠ p (d.v.s. inertiadelgruppen vid ℓ har trivial verkan).
• Om Frob_ℓ är Frobeniuselementet för ℓ ≠ p, är χ_p(Frob_ℓ) = ℓ
• Den kristallin vid p.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Cyclotomic character, 3 november 2014.