Momentgenererande funktion

Den momentgenererande funktionen (ofta förkortat mgf) för en stokastisk variabel X definieras som $\psi _{X}(t)=E[e^{tX}]$, om det finns ett h så att väntevärdet existerar och är ändligt för $|t|<h$.

Momentgenererande funktioner räknas ut olika beroende på om X är en kontinuerlig eller diskret stokastisk variabel, eftersom väntevärden räknas ut olika. Man får att:

$E[e^{tX}]={\begin{cases}\sum _{i}e^{it}p_{X}(i)&X~{\textrm {diskret}}\\\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)dx&X~{\textrm {kontinuerlig}}\end{cases}}$

där f_X är X:s täthetsfunktion.

Egenskaper

Den momentgenererande funktionen bestämmer unikt fördelningen för stokastiska variabler. Så om två momentgenererande funktioner är lika, $\psi _{X}(t)=\psi _{Y}(t)$, har de två stokastiska variablerna, $X$ och $Y$, lika fördelning.

Man kan visa att om $\psi _{X}(t)$ existerar för $|t|<h$ och något $h>0$ gäller

• $E[X]^{r}<\infty ,~\forall r>0$
• Det n:te momentet till X kan beräknas med:

$E[X^{n}]=\left.{\frac {d^{n}\psi _{X}(t)}{dt^{n}}}\right|_{t=0}$

• Om Y = aX + b så är

$\psi _{Y}(t)=e^{tb}\psi _{X}(at).\,$

• Om X och Y är oberoende stokastiska variabler med momentgenererande funktioner $\psi _{X}$ och $\psi _{Y}$ har den stokastiska variabeln W = X + Y den momentgenerernade funktionen

$\psi _{W}(t)=\psi _{X}(t)\psi _{Y}(t).\,$

Referenser

• Blom, Gunnar (1984). Sannolikhetsteori med tillämpningar. Studentlitteratur. ISBN 91-44-04372-4 
• Yates, Roy; David Goodman (2005). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27214-4