Haarmått

Haarmått är ett mått i lokalt kompakta topologiska grupper så att det är volyminvariant. Till exempel är Lebesguemåttet Haarmåttet i $\mathbb {R} ^{n}$.

Translation-invariant mått

Låt $(G,\circ )$ vara en grupp.

Om $A\subset G$ och $g\in G$ kallas mängden

$gA=g\circ A:=\{g\circ a:a\in A\}$

för vänstertranslationen för A och mängden

$Ag=A\circ g:=\{a\circ g:a\in A\}$

för högertranslationen för A.

En sigma-algebra ${\mathcal {F}}\,$ i $G\,$ är vänstertranslationsinvariant om

för alla $A\in {\mathcal {F}}$ och $g\in G\,$ är $gA\in {\mathcal {F}}$,

likartat kan man definiera egenskapen att en sigmaalgebra är högertranslationsinvariant.

Om ${\mathcal {F}}\,$ är en vänstertranslationsinvariant sigma-algebra så är måttet $\mu :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]$ vänstertranslationsinvariant om

för alla $A\in {\mathcal {F}}$ och $g\in G\,$ är $\mu (gA)=\mu (A)\,$ ,

likartat kan man definiera att ett mått är högertranslationsinvariant.

Haarmått

Låt $(G,\circ )$ vara en lokalt kompakt topologisk grupp, dvs

• paret $(G,\circ )$ är en grupp,
• rummet $G\,$ är ett lokalt kompakt topologiskt rum
• avbildningen $G\times G\to G:(g,h)\mapsto g\circ h$ är kontinuerlig (i produkttopologin) och
• avbildningen $G\to G:g\mapsto g^{-1}$ är kontinuerlig.

Då är Borelmängderna ${\mbox{Bor}}\,G$ en vänster- och högertranslationsinvariant sigma-algebra.

Det går att visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

$\mu _{v}:{\mbox{Bor}}\,G\rightarrow [0,\infty ]$

som är vänstertranslationsinvariant. Vi kallar detta mått vänster-Haarmåttet.

Man kan även visa att det alltid finns (utan konstant) endast ett Radonmått

$\mu _{h}:{\mbox{Bor}}\,G\rightarrow [0,\infty ]$

som är vänster-translation-invariant som kallas höger-Haarmåttet.

Med utan konstant menas att Radonmåttet $\mu \,$ i $G\,$ är vänstertranslationsinvariant om och endast om det finns $c\geq 0$ så att $\mu =c\mu _{v}\,$, likaså för det högertranslationsinvarianta måttet.

Det finns grupper $G\,$ där $\mu _{v}\neq \mu _{h}\,$, men om

$\mu _{v}=\mu _{h}\,$

i $G\,$ kallar vi måttet

${\mathfrak {h}}_{G}:=\mu _{v}=\mu _{h}$

för Haarmåttet.

Egenskaper

• Givet ett höger-Haarmått $\mu$ kan ett möjligen nytt höger-Haarmått $\nu$ skapas genom att definiera

$\nu (S)=\mu (g^{-1}S)\,$

där $g$ är ett element i den överliggande gruppen $G$ och $S$ är en Borelmängd. Då alla höger-Haarmått på en grupp är unika upp till en konstant finns således ett reellt tal $\Delta (g)$ sådant att

$\nu (S)=\mu (g^{-1}S)=\Delta (g)\mu (S).$

Eftersom ett nytt höger-Haarmått kan skapas för varje element $g$ i gruppen så kan $\Delta$ ses som en funktion från gruppen till de positiva reella talen och brukar kallas modulärfunktionen. Notera att modulärfunktionen är oberoende av vilket höger-Haarmått som väljs för att definiera den eftersom givet två höger-Haarmått $\mu$ och $\nu$ så finns det en konstant $k$ så att $\nu =k\mu$. Detta ger

$\nu (g^{-1}S)=k\mu (g^{-1}S)=k\Delta (g)\mu (S)=\Delta (g)\nu (S).$

• Om gruppen $G\,$ är en abelsk grupp så är $\mu _{v}=\mu _{h}\,$.

Exempel

• Rummet $(\mathbb {R} ^{n},+)$ är en lokalt kompakt topologisk grupp med normtopologi. Dessutom är Lebesguemåttet över Borelmängder höger- och vänstertranslationsinvariant, dvs

för alla $A\in {\mbox{Bor}}\,\mathbb {R} ^{n}$ och $x\in \mathbb {R} ^{n}\,$ gäller att ${\mathcal {L}}^{n}(x+A)={\mathcal {L}}^{n}(A)={\mathcal {L}}^{n}(A+x)\,$.

Så att Lebesguemåttet är Haarmåttet i $\mathbb {R} ^{n}$:

${\mathfrak {h}}_{\mathbb {R} ^{n}}={\mathcal {L}}^{n}$.

Detta innebär också att Lebesguemåttet är (utan konstant) det enda höger- och vänstertranslationsinvarianta måttet i $\mathbb {R} ^{n}$.

• Andra viktiga exempel för Haarmåttet är vridningsinvariant mått i ortogonalgruppen, dvs

${\mathfrak {h}}_{O(n)}=\theta _{n}$.

Källor

• Paul Halmos (1950), Measure Theory, D. van Nostrand and Co.