Eulersystem

Inom matematiken är ett Eulersystem en samling kompatibla element av Galoiskohomologigrupper indexerade av kroppar. De introducerades av Kolyvagin (1990) i hans arbete om Heegnerpunkter av modulära elliptiska kurvor, motiverade av hans tidigare arbete Kolyvagin (1988) och arbetet av Thaine (1988). Eulersystem är uppkallade efter Leonhard Euler eftersom faktorerna som relaterar olika element av ett Eulersystem liknar faktorer av en Eulerprodukt.

Eulersystem kan användas till att konstruera annihilatorer av idealklassgrupper eller Selmergrupper, vilket ger gränser för deras ordning, vilket igen har lett till djupa satser såsom ändligheten av vissa Tate–Sjafarevitjgrupper. Detta ledde till Karl Rubins nya bevis av huvudförmodan inom Iwasawateori, som betraktas enklare än det ursprungliga beviset av Barry Mazur och Andrew Wiles.

Definition

Även om det finns definitioner av Eulersystem av speciella slag, verkar det inte finnas någon publicerad definition som skulle täcka alla definitioner. Men det är möjligt att säga ungefärligt vad ett Eulersystem är:

• Ett Eulersystem ges av en samling element c_F. Dessa element är ofta indexerade av vissa talkroppar F som innehåller någon fixerad talkropp K, eller av något nära relaterat såsom kvadratfria tal. Elementen c_F är typiskt element av någon Galoiskohomologigrupp som H¹(F, T) där T är en p-adisk representation av den absoluta Galoisgruppen av K.
• Det viktigaste kravet är att elementen c_F och c_G för två olika kroppar F ⊆ G är relaterade av en enkel formel, såsom

${\rm {cor}}_{G/F}(c_{G})=\prod _{q\in \Sigma (G/F)}P(\mathrm {Fr} _{q}^{-1}|{\rm {Hom}}_{O}(T,O(1));\mathrm {Fr} _{q}^{-1})c_{F}.$

Här är "Eulerfaktorn" P(τ|B;x) definierad som elementet av det(1-τx|B) betraktad som ett element av O[x], som då x har verkan på B är inte samma som det(1-τx|B) betraktad som ett element av O.

• Det kan vara andra krav som elementen c_F måste satisfiera, såsom kongruenskrav.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Euler system, 5 maj 2014.

• Banaszak, Grzegorz (2001), ”Euler systems for number fields”, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
• Beilinson, Alexander (1984), ”Higher regulators and values of L-functions”, i R. V. Gamkrelidze (på ryska), Current problems in mathematics, "24", s. 181–238 
• Coates, J.H.; Greenberg, R.; Ribet, K.A.; Rubin, K. (1999), Arithmetic Theory of Elliptic Curves, Lecture Notes in Mathematics, "1716", Springer-Verlag, ISBN 3-540-66546-3 
• Coates, J.; Sujatha, R. (2006), ”Euler systems”, Cyclotomic Fields and Zeta Values, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, s. 71–87, ISBN 3-540-33068-2 
• Kato, Kazuya (2004), ”p-adic Hodge theory and values of zeta functions of modular forms”, i Pierre Berthelot, Jean-Marc Fontaine, Luc Illusie, Kazuya Kato, and Michael Rapoport, Cohomologies p-adiques et applications arithmétiques. III., Astérisque, "295", Paris: Société Mathématique de France, s. 117–290 
• Kato, Kazuya (2007), ”Iwasawa theory and generalizations”, i Marta Sanz-Solé, Javier Soria, Juan Luis Varona, and Joan Verdera, International Congress of Mathematicians, "I", Zürich: European Mathematical Society, s. 335–357, http://www.icm2006.org/proceedings/Vol_I/18.pdf, läst 12 augusti 2010 . Proceedings of the congress held in Madrid, August 22–30, 2006
• Kolyvagin, V. A. (1988), ”The Mordell-Weil and Shafarevich-Tate groups for Weil elliptic curves”, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya 52 (6): 1154–1180, ISSN 0373-2436 
• Kolyvagin, V. A. (1990), ”Euler systems”, The Grothendieck Festschrift, Vol. II, Progr. Math., "87", Boston, MA: Birkhäuser Boston, s. 435–483, doi:10.1007/978-0-8176-4575-5_11, ISBN 978-0-8176-3428-5 
• Mazur, Barry; Rubin, Karl (2004), ”Kolyvagin systems”, Memoirs of the American Mathematical Society 168 (799): viii+96, ISBN 978-0-8218-3512-8, ISSN 0065-9266, http://www.math.jussieu.fr/~cornut/ES/Ref/KolySys.pdf 
• Rubin, Karl (2000), Euler systems, Annals of Mathematics Studies, "147", Princeton University Press, http://books.google.com/books?isbn=0691050767 
• Scholl, A. J. (1998), ”An introduction to Kato's Euler systems”, Galois representations in arithmetic algebraic geometry (Durham, 1996), London Math. Soc. Lecture Note Ser., "254", Cambridge University Press, s. 379–460, ISBN 978-0-521-64419-8, http://books.google.com/books?isbn=9780521644198 
• Thaine, Francisco (1988), ”On the ideal class groups of real abelian number fields”, Annals of Mathematics. Second Series 128 (1): 1–18, doi:10.2307/1971460, ISSN 0003-486X