Byte av integrationsordning är en central operation vid beräkningen av multipla integraler . En fråga som ofta dyker upp är om
∬
X
×
Y
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
Y
(
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
=
∫
X
(
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
.
{\displaystyle \iint _{X\times Y}f(x,y)\,dxdy=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,dx\right)dy=\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,dy\right)dx.}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Följande två kriterier är var för sig tillräckliga för att ovanstående likheter skall gälla:
f
(
x
,
y
)
≥
0
{\displaystyle f(x,y)\geq 0\,}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X\,}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y\,}
∬
X
×
Y
|
f
(
x
,
y
)
|
d
x
d
y
<
∞
{\displaystyle \iint _{X\times Y}|f(x,y)|\,dxdy<\infty }
Ofta sker beräkningen i praktiken genom att kriterium 1 används på
|
f
(
x
,
y
)
|
{\displaystyle |f(x,y)|\,}
Det första kriteriet brukar kallas Tonellis sats och det andra för Fubinis sats . De gäller allmänt för väldigt generella integraler, definierade med hjälp av mått .
Betrakta funktionen
f
(
x
,
y
)
=
sin
(
x
)
sin
(
y
)
e
−
x
2
−
y
2
{\displaystyle f(x,y)=\sin(x)\sin(y)e^{-x^{2}-y^{2}}}
Denna funktion växlar tecken många gånger, så kriterium 2 måste användas för att kunna beräkna integralen av
f
{\displaystyle f}
Först måste det alltså verifieras att kriterium 2 går att använda. Detta görs genom att betrakta integralen av
|
f
|
{\displaystyle |f|}
∬
R
2
|
f
(
x
,
y
)
|
d
x
d
y
=
∬
R
2
|
sin
(
x
)
sin
(
y
)
e
−
x
2
−
y
2
|
d
x
d
y
≤
∬
R
2
|
e
−
x
2
−
y
2
|
d
x
d
y
{\displaystyle \iint _{\mathbf {R} ^{2}}|f(x,y)|\,dxdy=\iint _{\mathbf {R} ^{2}}\left|\sin(x)\sin(y)e^{-x^{2}-y^{2}}\right|\,dxdy\leq \iint _{\mathbf {R} ^{2}}\left|e^{-x^{2}-y^{2}}\right|\,dxdy}
=
∫
−
∞
∞
(
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
−
y
2
d
x
)
d
y
=
∫
−
∞
∞
e
−
y
2
π
d
y
=
π
<
∞
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\right)dy=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}{\sqrt {\pi }}dy=\pi <\infty }
Alltså är kriterium 2 uppfyllt och den ursprungliga integralen kan beräknas:
∬
R
2
sin
(
x
)
sin
(
y
)
e
−
x
2
−
y
2
d
x
d
y
=
∫
−
∞
∞
sin
(
y
)
e
−
y
2
(
∫
−
∞
∞
sin
(
x
)
e
−
x
2
d
x
)
d
y
=
{\displaystyle \iint _{\mathbf {R} ^{2}}\sin(x)\sin(y)e^{-x^{2}-y^{2}}\,dxdy=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(y)e^{-y^{2}}\left(\int _{-\infty }^{\infty }\sin(x)e^{-x^{2}}\,dx\right)dy=}
∫
−
∞
∞
sin
(
y
)
e
−
y
2
⋅
0
d
y
=
0
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\sin(y)e^{-y^{2}}\cdot 0\,dy=0}
Att det inte alltid går att byta ordning på integraler illustreras av följande exempel:
∫
1
∞
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
d
y
=
[
y
x
2
+
y
2
]
1
∞
=
−
1
1
+
x
2
.
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}.}
och därför:
∫
1
∞
(
∫
1
∞
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
d
y
)
d
x
=
−
π
4
.
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .}
∫
1
∞
(
∫
1
∞
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
d
x
)
d
y
=
π
4
.
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .}
Integering över det triangelformade området kan se på två olika sätt: först i x-led och sen i y-led, och tvärtom.
G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications , John Wiley and Sons 1999 ISBN 0-471-31716-0
Den här artikeln ingår i boken: Måtteori
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2738be468feaf530d0d85328bd6daff201cefce3)
