Begränsade konvergenssatsen

Begränsade konvergenssatsen är en matematisk sats i måtteori. Den säger att man kan byta ordning på gränsvärde och integral om måttet för måttrummet är ändligt och funktionerna i en funktionsföljd är likformigt begränsade.

Satsen

Låt $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ vara ett måttrum så att $\mu (X)<\infty$. Låt $(f_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ vara en följd av integrerbara funktioner så att $|f_{i}|\leq C\,$ för alla $i\in \mathbb {N}$ med $C<\infty$. Då är

$\int \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu =\lim _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu .$

Bevis

Detta är en enkel följd av dominerade konvergenssatsen, som kan appliceras på en funktion:

$g:=C\chi _{X}\,.$

Funktionen g är mätbar eftersom $X\in {\mathcal {F}}$. Dessutom

$\int |g|\,d\mu =C\int \chi _{X}\,d\mu =C\mu (X)<\infty ,$

dvs funktionen g är också integrerbar. Å andra sidan

$|f_{i}|\leq C=C\chi _{X}=g$

för alla $i\in \mathbb {N}$. Så att

$\int \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu {\stackrel {\mathrm {DKS} }{=}}\lim _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu .$

Vilket bevisar satsen.

Se även

• Monotona konvergenssatsen
• Dominerade konvergenssatsen
• Beppo Levis sats