Baires kategorisats

Baires kategorisats är ett fundamentalt begrepp inom funktionalanalys som bland annat ger upphov till de stora teoremen inom funktionalanalys: Banach-Schauders sats, satsen om den slutna grafen och Banach-Steinhaus sats. Satsen är uppkallad efter René-Louis Baire.

Baires kategoriteorem

Varje fullständigt metriskt rum $X$ besitter följande två egenskaper:

• Om $\{O_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ är en följd bestående av öppna och täta delmängder av $X$, så är deras snitt $\cap _{n=1}^{\infty }O_{n}\,$ också en tät delmängd av $X$.
• Mängden $X$ kan inte framställas som en uppräknelig union av ingenstans täta delmängder $\{M_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ : $X\neq \bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}.$